Super wpis. Wspomnieć o Cardano i zamiast napisać, że zaczął się zajmować liczbami zespolonymi żeby móc rozwiązywać równania to walnąć definicję, z której dla laika nic nie wynika.
Chcemy żeby równania kwadratowe z ujemną deltą miały rozwiązania. Mamy na nie gotowy wzór gdzie jest pierwiastek z delty, więc musimy umieć wyciągnąć go z liczby ujemnej (pamiętamy z liceum że właśnie dlatego, że się “nie da” wtedy nie ma rozwiązań). No to dorzucamy taki pierwiastek z -1 i okazuje się, że da się na tym liczyć zachowując znane nam zasady* – skoro (a+b√3)(c+d√3)=ac+(√3)^2 bd+(ad+bc)√3 to to samo robimy z √-1 i dostajemy “magiczne wzory” z liczbami zespolonymi.
Dla bardziej wtajemniczonych – dostajemy ciało, co więcej okazuje się, że w tym ciele wszystkie równania wielomianowe mają rozwiązania i to tyle co stopień – [nazwa twierdzenia nieprzypadkowa.](https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra) Na dodatek *i*, to najmniej co trzeba dorzucić do liczb rzeczywistych żeby tak było**. I to jest powód dla którego liczby zespolone nie tylko nie są urojone (obojętnie co by to miało nie znaczyć), co w wielu dziedzinach matematyki w pewnym sensie “lepsze” niż rzeczywiste.
“Po matematycznemu” C~=R[x]/(x^2+1) jest ciałem* i na dodatek domknięciem algebraicznym** ciała R liczb rzeczywistych.
Jak coś to Veritasium zrobił fajny filmik na ten temat (po angielsku) [https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo](https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo) tutaj trochę odrazu z właściwościami jedziemy, a w tym filmiku ciekawy jest kontekst historyczny i czemu ktoś w ogóle na to wpadł.
Tylko liczby naturalne nie są “bytami urojonymi”.
Liczby całkowite ujemne lubimy sobie tłumaczyć jako “dług”. Ale w przyrodzie takie coś nie istnieje, to koncepcja wymyślona przez ludzi.
Ułamki? A co to jest “pół”? Chcesz odmierzyć pół szklanki wody na przykład – co zrobić, kiedy okaże się, że szklanka zawiera nieparzystą liczbę cząsteczek? Ułamki to znowu przybliżenie. Zakładamy sobie, że materia jest ciągła. A nie jest. Obserwowalny wszechświat zawiera skończoną liczbę atomów i nie da się tego dzielić w nieskończoność.
Wychodzi z tego, że już liczby wymierne to jest kosmos nie do ogarnięcia. A po drodze do liczb rzeczywistych mamy przecież jeszcze liczby algebraiczne.
Idąc od liczb naturalnych do zespolonych pięć razy po drodze wstaw sobie gifa “mózg rozjebany”. Pierwszy raz, przy przejściu od liczb naturalnych do całkowitych przyjmujesz, że garnek nie jest pusty i będzie pusty dopiero jak coś do niego wrzucisz. Drugi raz, przy przejściu od całkowitych do wymiernych zapominasz o istnieniu atomów i nie da się dzielić na dowolną liczbę kawałków. A potem jeszcze trzy razy – przechodząc do liczb algebraicznych, rzeczywistych i dopiero do zespolonych.
3 comments
Super wpis. Wspomnieć o Cardano i zamiast napisać, że zaczął się zajmować liczbami zespolonymi żeby móc rozwiązywać równania to walnąć definicję, z której dla laika nic nie wynika.
Chcemy żeby równania kwadratowe z ujemną deltą miały rozwiązania. Mamy na nie gotowy wzór gdzie jest pierwiastek z delty, więc musimy umieć wyciągnąć go z liczby ujemnej (pamiętamy z liceum że właśnie dlatego, że się “nie da” wtedy nie ma rozwiązań). No to dorzucamy taki pierwiastek z -1 i okazuje się, że da się na tym liczyć zachowując znane nam zasady* – skoro (a+b√3)(c+d√3)=ac+(√3)^2 bd+(ad+bc)√3 to to samo robimy z √-1 i dostajemy “magiczne wzory” z liczbami zespolonymi.
Dla bardziej wtajemniczonych – dostajemy ciało, co więcej okazuje się, że w tym ciele wszystkie równania wielomianowe mają rozwiązania i to tyle co stopień – [nazwa twierdzenia nieprzypadkowa.](https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra) Na dodatek *i*, to najmniej co trzeba dorzucić do liczb rzeczywistych żeby tak było**. I to jest powód dla którego liczby zespolone nie tylko nie są urojone (obojętnie co by to miało nie znaczyć), co w wielu dziedzinach matematyki w pewnym sensie “lepsze” niż rzeczywiste.
“Po matematycznemu” C~=R[x]/(x^2+1) jest ciałem* i na dodatek domknięciem algebraicznym** ciała R liczb rzeczywistych.
Jak coś to Veritasium zrobił fajny filmik na ten temat (po angielsku) [https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo](https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo) tutaj trochę odrazu z właściwościami jedziemy, a w tym filmiku ciekawy jest kontekst historyczny i czemu ktoś w ogóle na to wpadł.
Tylko liczby naturalne nie są “bytami urojonymi”.
Liczby całkowite ujemne lubimy sobie tłumaczyć jako “dług”. Ale w przyrodzie takie coś nie istnieje, to koncepcja wymyślona przez ludzi.
Ułamki? A co to jest “pół”? Chcesz odmierzyć pół szklanki wody na przykład – co zrobić, kiedy okaże się, że szklanka zawiera nieparzystą liczbę cząsteczek? Ułamki to znowu przybliżenie. Zakładamy sobie, że materia jest ciągła. A nie jest. Obserwowalny wszechświat zawiera skończoną liczbę atomów i nie da się tego dzielić w nieskończoność.
Wychodzi z tego, że już liczby wymierne to jest kosmos nie do ogarnięcia. A po drodze do liczb rzeczywistych mamy przecież jeszcze liczby algebraiczne.
Idąc od liczb naturalnych do zespolonych pięć razy po drodze wstaw sobie gifa “mózg rozjebany”. Pierwszy raz, przy przejściu od liczb naturalnych do całkowitych przyjmujesz, że garnek nie jest pusty i będzie pusty dopiero jak coś do niego wrzucisz. Drugi raz, przy przejściu od całkowitych do wymiernych zapominasz o istnieniu atomów i nie da się dzielić na dowolną liczbę kawałków. A potem jeszcze trzy razy – przechodząc do liczb algebraicznych, rzeczywistych i dopiero do zespolonych.