Contexte

Yu Deng, mathématicien à l’université de Chicago, vient de recevoir jeudi 23 juillet la médaille Fields 2026 (avec quatre autres lauréats) pour ses travaux sur le sixième problème de Hilbert, portant sur l’axiomatisation de la physique. Avec deux autres collègues, il a démontré rigoureusement la correspondance entre la description microscopique d’un gaz composé de molécules et l’équation de Boltzmann, donnant une vision du comportement du gaz dans sa globalité. Cet article présente ces travaux.

Au tournant du XXe siècle, le célèbre mathématicien David Hilbert nourrissait une grande ambition : fonder les théories physiques sur une base plus rigoureuse, empruntée aux mathématiciens. À l’époque, les physiciens étaient encore englués dans des débats portant sur des notions élémentaires – qu’est-ce que la chaleur ? comment les molécules sont-elles structurées ? – et Hilbert espérait que la logique formelle des mathématiques pourrait leur servir de guide.

Le matin du 8 août 1900, lors d’une conférence historique au Congrès international des mathématiciens, il présenta une liste de vingt-trois problèmes mathématiques majeurs. Le sixième d’entre eux : produire des démonstrations rigoureuses pour les lois de la physique.

L’ambition du sixième problème de Hilbert était considérable. Elle demandait de traiter les sciences physiques dans lesquelles les mathématiques jouent un rôle important, à l’instar de la géométrie, et de les bâtir sur un ensemble d’« axiomes ». Ce défi d’axiomatiser la physique constituait « tout un programme », explique David Levermore, mathématicien à l’université du Maryland, aux États-Unis. « Tel qu’il est formulé, le sixième problème ne sera jamais vraiment résolu. »

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Mais Hilbert avait proposé un point de départ. Pour étudier les différentes propriétés d’un gaz (la vitesse de ses molécules, ou sa température moyenne, par exemple), les physiciens utilisent différentes équations. Ils emploient en particulier un premier jeu d’équations pour décrire le mouvement des molécules individuelles dans le gaz, et un second pour décrire le comportement du gaz pris dans son ensemble. Hilbert se demandait s’il était possible de montrer qu’un de ces jeux d’équations impliquait l’autre, c’est-à-dire que ces équations, comme les physiciens le supposaient sans l’avoir rigoureusement démontré, n’étaient que deux façons différentes de modéliser une même réalité.

Pendant cent vingt-cinq ans, axiomatiser n’était-ce que ce petit pan de la physique a semblé impossible. Les mathématiciens ont accompli des progrès partiels, produisant des démonstrations qui ne fonctionnaient que pour des gaz observés sur des échelles de temps extrêmement courtes, ou dans des configurations très particulières. Mais ces résultats restaient bien loin de ce que Hilbert avait imaginé.

Récemment, trois mathématiciens sont enfin parvenus à relier rigoureusement le microscopique et le macroscopique. Plus étonnant, leurs travaux ne représentent pas seulement une avancée majeure dans le programme de Hilbert, ils touchent aussi à des questions liées au caractère irréversible du temps. « C’est un travail magnifique », estime Gregory Falkovich, physicien à l’institut Weizmann des sciences. « Un tour de force. »

Sous le mésoscope

Pourquoi ce pont entre les différentes échelles est-il si difficile à bâtir ? Pour le comprendre, imaginons un gaz dont les particules sont très dispersées. Un physicien dispose de plusieurs façons de le modéliser.

À l’échelle microscopique, le gaz est constitué de molécules individuelles qui se comportent comme des boules de billard, se déplaçant et s’entrechoquant dans l’espace selon les lois du mouvement établies par Isaac Newton voilà près de trois cent cinquante ans. Cette description du gaz est nommée « modèle des sphères dures ».

Prenons maintenant un peu de recul. À cette nouvelle échelle « mésoscopique », le champ de vision englobe trop de molécules pour qu’on puisse les suivre individuellement. On modélise alors le gaz à l’aide d’une équation mise au point à la fin du XIXe siècle par les physiciens James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann. Appelée « équation de Boltzmann », elle décrit le comportement statistique des molécules du gaz, indiquant combien de particules on peut s’attendre à trouver à différents endroits se déplaçant à différentes vitesses.

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Prenons encore du recul, et l’on ne peut plus distinguer le fait que le gaz est constitué de particules individuelles : il se comporte comme une substance continue. Pour modéliser ce mécanisme macroscopique (la densité du gaz et sa vitesse en tout point de l’espace), il faut recourir à un troisième jeu d’équations, les équations de Navier-Stokes.

Les physiciens considèrent ces trois descriptions du comportement d’un gaz comme compatibles entre elles : elles ne seraient que différents prismes permettant de comprendre une même réalité. Mais les mathématiciens, désireux de contribuer au sixième problème de Hilbert, voulaient démontrer de façon rigoureuse ces équivalences. Il leur fallait montrer que le modèle newtonien des particules individuelles donne naissance à la description statistique de Boltzmann, et que l’équation de Boltzmann engendre à son tour les équations de Navier-Stokes.

Les mathématiciens avaient déjà obtenu certains succès sur cette seconde étape, en démontrant qu’il est possible, dans divers contextes, de déduire un modèle macroscopique d’un gaz à partir d’un modèle mésoscopique. Mais ils ne parvenaient pas à résoudre la première étape, laissant la chaîne logique incomplète.

C’est désormais chose faite. Dans une série d’articles, les mathématiciens Yu Deng, de l’université de Chicago, Zaher Hani et Xiao Ma, tous deux à l’université du Michigan, ont démontré l’étape la plus difficile, celle qui va du microscopique au mésoscopique, pour un gaz placé dans un contexte spécifique, avant d’obtenir la chaîne complète jusqu’à l’échelle macroscopique.

Des collisions, mais pas trop

Boltzmann avait déjà pu montrer que les lois de la mécanique newtonienne donnaient naissance à son équation mésoscopique, à condition qu’une hypothèse cruciale soit vérifiée : que les particules du gaz se déplacent plus ou moins indépendamment les unes des autres. Dit autrement, il fallait qu’il soit très rare qu’une paire donnée de molécules entre en collision à plusieurs reprises.

Mais Boltzmann n’était pas en mesure de démontrer de façon définitive que cette hypothèse était vraie. « Il ne pouvait évidemment pas formuler de théorèmes à ce sujet car il n’existait, à l’époque, ni la structure ni les outils pour y parvenir », explique Sergio Simonella, de l’université de Rome Sapienza.

Le problème est qu’il existe une infinité de façons pour un ensemble de particules d’entrer en collision, puis de se percuter de nouveau. « On se retrouve avec une explosion du nombre de configurations possibles », explique David Levermore. Démontrer l’hypothèse de Boltzmann, c’est-à-dire vérifier que les scénarios impliquant des collisions répétées étaient bien rares, devient un véritable « cauchemar ».

En 1975, le mathématicien Oscar Lanford est néanmoins parvenu à le démontrer, mais seulement sur des intervalles de temps extrêmement courts – la durée exacte dépend de l’état initial du gaz, mais elle est plus brève qu’un clignement d’œil, selon Sergio Simonella. Au-delà, la démonstration s’effondrait : avant même que la plupart des particules aient eu l’occasion d’entrer en collision une seule fois, Oscar Lanford ne pouvait plus garantir que les collisions répétées restaient un phénomène rare. Dans les décennies qui ont suivi, de nombreux mathématiciens ont tenté d’étendre son résultat, sans succès.

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Puis, presque cinquante ans plus tard, en novembre 2023, Yu Deng et Zaher Hani ont mis en ligne une prépublication laissant entrevoir la démonstration tant attendue. Un article à venir, écrivaient-ils, s’appuierait sur ce dernier résultat pour explorer « l’extension à long terme du théorème d’Oscar Lanford ».

Les autres mathématiciens ne savaient pas trop comment recevoir cette annonce. « Je ne pensais pas que c’était possible », confie Pierre Germain, de l’Imperial College à Londres. Yu Deng et Zaher Hani ne travaillaient d’ailleurs pas habituellement sur les systèmes de particules : jusque-là, ils avaient surtout étudié des systèmes constitués d’ondes (comme les rayons lumineux). La communauté mathématique attendait donc avec impatience la démonstration promise.

Des ondes aux particules

Yu Deng et Zaher Hani ont commencé à travailler sur l’analyse de la transition entre l’échelle microscopique et l’échelle mésoscopique dans le cas des ondes. Puis, environ un an avant la sortie de leur prépublication, Yu Deng participait à une conférence où il a rencontré Xiao Ma, alors doctorant à l’université de Princeton. Ils en sont venus à discuter des travaux de Yu Deng et Zaher Hani, et de la manière dont on pourrait adapter leurs méthodes aux particules. Cette approche pouvait leur permettre d’étendre le résultat d’Oscar Lanford, en montrant que les collisions répétées de particules restent rares, même sur des échelles de temps plus longues.

C’était l’objectif que Yu Deng et Zaher Hani envisageaient déjà depuis un moment. Impressionné par les intuitions de Xiao Ma sur le sujet, Yu Deng l’a invité à les aider à transformer ce projet en démonstration.

Le trio espérait se concentrer sur un scénario très étudié, pour lequel les mathématiciens avaient déjà démontré la seconde étape, du méso- au macroscopique. Dans ce scénario, un gaz dilué de particules sphériques est enfermé dans une boîte : lorsqu’une particule heurte l’une des parois de la boîte, elle réapparaît sur la paroi opposée.

Mais pour démontrer l’étape la plus difficile, celle qui va du microscopique au mésoscopique, dans ce contexte, Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma devaient transposer aux particules leurs techniques conçues pour les ondes. Ils ont donc commencé par un cadre où cette tâche serait un peu plus simple : un gaz dont les particules sont réparties aléatoirement dans un espace infini. Contrairement à celles d’un gaz enfermé dans une boîte, qui continuent de rebondir les unes contre les autres indéfiniment, ces particules finissent par se disperser et cessent d’entrer en collision.

Les trois mathématiciens devaient d’abord répertorier les différents types de collisions susceptibles de se produire dans leur gaz, et évaluer la probabilité de chacun d’entre eux. Ils pouvaient facilement écarter les scénarios impliquant des taux de collisions répétées particulièrement élevés. Il leur restait alors un nombre fini, bien qu’encore considérable, de configurations à analyser, chacune impliquant un certain sous-ensemble de particules entrant en collision dans un ordre donné. Une fois qu’ils savaient précisément ce qu’impliquait chaque configuration, ils pouvaient s’en servir pour en estimer la probabilité.

Mais cela relevait souvent d’une tâche impossible, car nombre de ces configurations impliquaient un très grand nombre de particules et des interactions complexes et indirectes entre elles. « La structure de ces ensembles [de particules en collision] devient extrêmement compliquée », explique Yu Deng. En principe, les mathématiciens auraient dû suivre simultanément chacune de ces particules pour calculer les estimations de probabilité dont ils avaient besoin.

C’est là que les travaux antérieurs de Yu Deng et Zaher Hani sur les ondes leur ont apporté une inspiration décisive. À l’époque, ils avaient trouvé le moyen de décomposer des motifs complexes d’ondes en interaction en motifs plus simples. Ils avaient soigneusement conçu leur technique de sorte qu’en ne travaillant qu’avec quelques ondes à la fois, ils pouvaient tout de même obtenir une bonne estimation de la probabilité du motif d’onde complet, bien plus complexe. Ils espéraient que la même idée fonctionnerait dans le cas des particules.

Mais après une collision, les particules se comportent très différemment des ondes. Par exemple, contrairement aux ondes, les particules rebondissent les unes sur les autres, ce qui modifie fortement le motif de collisions qui en résulte, ainsi que sa probabilité. Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma ont dû repenser leur stratégie depuis le début.

Mais ils ont conservé cette idée de décomposition des motifs complexes. Ils ont d’abord traité les cas les plus simples, dans lesquels chaque particule n’entre en collision que quelques fois sur un intervalle de temps très court, sans collision répétée. Puis ils sont passés progressivement à des cas de plus en plus difficiles : des durées plus longues, avec davantage de collisions et de collisions répétées.

Ce travail relevait autant de l’art que de la science. « L’intuition s’est développée progressivement, à partir de quelques tentatives infructueuses », raconte Yu Deng. Il leur a fallu apprendre à découper de grands motifs complexes de collisions de particules de manière à simplifier leurs calculs tout en conservant des estimations très précises.

« Ce processus prenait des mois, explique Zaher Hani. Nous étions constamment bloqués. » Presque tous les jours, ils se retrouvaient en visioconférence pour en discuter. « Au grand dam de mon épouse, certaines de ces réunions avaient lieu très tard le soir, ou très tôt le matin, raconte Zaher Hani. Je couchais ma fille, puis nous passions deux ou trois heures en visioconférence. »

Au printemps 2024, le trio était enfin certain d’avoir tout couvert. Leur démonstration, mise en ligne cet été-là, confirmait que les collisions répétées devaient être extrêmement rares. Ils avaient montré, comme ils l’espéraient, que dans le cadre d’un espace infini, la description du gaz par l’équation de Boltzmann pouvait être dérivée de la mécanique newtonienne des sphères dures. Les échelles microscopique et mésoscopique se trouvaient désormais réunies au sein d’un même cadre mathématique rigoureux.

« Je pense que c’est un travail remarquable », estime Alexandru Ionescu, mathématicien à l’université de Princeton, qui fut également le directeur de thèse de Yu Deng et de Xiao Ma. « Ce sont là quelques-unes des avancées les plus significatives depuis très, très longtemps. »

Ils étaient désormais prêts à revenir au scénario du gaz enfermé dans une boîte, où ils pourraient enfin résoudre le sixième problème de Hilbert.

La chaîne complétée

Il ne leur a pas fallu longtemps pour étendre leur résultat du cas de l’espace infini à celui de la boîte. « Quatre-vingts pour cent de la démonstration reste identique au cas de l’espace infini », précise Yu Deng.

En mars 2025, ils ont publié une nouvelle prépublication combinant leur démonstration avec les résultats antérieurs reliant l’équation de Boltzmann aux équations de Navier-Stokes. La chaîne logique était désormais complète : ils avaient montré que, pour un modèle réaliste de gaz, une description microscopique des particules individuelles donne bel et bien naissance, in fine, à une description macroscopique du comportement à grande échelle du gaz.

Ce travail ne marque pas seulement la résolution d’un cas majeur du sixième problème de Hilbert. Il apporte aussi une résolution mathématique rigoureuse à un vieux paradoxe.

À l’échelle microscopique, où les particules se comportent comme des boules de billard, le temps est réversible : la mécanique newtonienne permet de prédire aussi bien d’où vient une particule que là où elle va. Le futur n’est fondamentalement pas différent du passé.

Mais aux échelles mésoscopique et macroscopique, il n’y a pas de retour en arrière possible. « Nous savons bien qu’en avançant dans le temps, on vieillit sans jamais rajeunir ; que la chaleur ne passe pas spontanément d’un corps froid vers un corps chaud ; qu’une goutte d’encre versée dans un verre d’eau se disperse, assombrissant le liquide, sans jamais reprendre spontanément sa forme initiale, petite et ronde », écrit Sergio Simonella. Ni l’équation de Boltzmann ni les équations de Navier-Stokes ne sont réversibles dans le temps : si l’on tente de les faire remonter le temps, les résultats obtenus n’ont aucun sens.

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Pour les contemporains de Boltzmann, cela avait de quoi dérouter. Comment une équation irréversible dans le temps pouvait-elle être dérivée d’un système réversible ?

Mais Boltzmann soutenait qu’il n’y avait là aucun paradoxe : même si chaque particule peut être modélisée de façon réversible dans le temps, la quasi-totalité des motifs de collisions aboutissent à la dispersion du gaz. La probabilité, par exemple, qu’un gaz se contracte spontanément est pour ainsi dire nulle.

Oscar Lanford avait confirmé mathématiquement cette intuition, mais seulement pour un intervalle de temps très court. Aujourd’hui, le résultat de Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma la confirme pour des situations bien plus réalistes.

Pour la suite, les mathématiciens, qui continuent d’éplucher les détails de cette nouvelle démonstration, souhaitent tester si des techniques similaires peuvent s’appliquer à d’autres contextes, plus réalistes encore. On pense par exemple à des gaz composés de particules de formes différentes, ou de particules interagissant de manière plus complexe.

De son côté, souligne le physicien Gregory Falkovich, ce type de démonstration rigoureuse peut aider les physiciens à comprendre pourquoi un gaz se comporte d’une certaine façon à différentes échelles, et pourquoi tel ou tel modèle peut se révéler plus ou moins pertinent selon les situations. « Ce que les mathématiciens font aux physiciens, dit-il, c’est qu’ils nous réveillent. »