Contexte<\/p>\n
Yu Deng, math\u00e9maticien \u00e0 l\u2019universit\u00e9 de Chicago, vient de recevoir jeudi 23 juillet la m\u00e9daille Fields 2026 (avec quatre autres laur\u00e9ats) pour ses travaux sur le\u00a0sixi\u00e8me probl\u00e8me de Hilbert, portant sur l\u2019axiomatisation de la physique. Avec deux autres coll\u00e8gues, il\u00a0a\u00a0d\u00e9montr\u00e9 rigoureusement la correspondance entre la description microscopique d\u2019un gaz compos\u00e9 de mol\u00e9cules et l\u2019\u00e9quation de Boltzmann, donnant une vision du comportement du\u00a0gaz dans sa globalit\u00e9.\u00a0Cet article pr\u00e9sente ces travaux.<\/p>\n
Au tournant du XXe\u00a0si\u00e8cle, le c\u00e9l\u00e8bre math\u00e9maticien David Hilbert nourrissait une grande ambition\u00a0: fonder les th\u00e9ories physiques sur une base plus rigoureuse, emprunt\u00e9e aux math\u00e9maticiens. \u00c0 l\u2019\u00e9poque, les physiciens \u00e9taient encore englu\u00e9s dans des d\u00e9bats portant sur des notions \u00e9l\u00e9mentaires \u2013 qu\u2019est-ce que la chaleur\u00a0? comment les mol\u00e9cules sont-elles structur\u00e9es\u00a0? \u2013 et Hilbert esp\u00e9rait que la logique formelle des math\u00e9matiques pourrait leur servir de guide.<\/p>\n
Le matin du 8\u00a0ao\u00fbt 1900, lors d\u2019une conf\u00e9rence historique au Congr\u00e8s international des math\u00e9maticiens, il pr\u00e9senta une liste de vingt-trois probl\u00e8mes math\u00e9matiques majeurs. Le sixi\u00e8me d\u2019entre eux\u00a0: produire des d\u00e9monstrations rigoureuses pour les lois de la physique.<\/p>\n
L\u2019ambition du sixi\u00e8me probl\u00e8me de Hilbert \u00e9tait consid\u00e9rable. Elle demandait de traiter les sciences physiques dans lesquelles les math\u00e9matiques jouent un r\u00f4le important, \u00e0 l\u2019instar de la g\u00e9om\u00e9trie, et de les b\u00e2tir sur un ensemble d\u2019\u00ab\u00a0axiomes\u00a0\u00bb. Ce d\u00e9fi d\u2019axiomatiser la physique constituait \u00ab\u00a0tout un programme\u00a0\u00bb, explique David Levermore<\/a>, math\u00e9maticien \u00e0 l\u2019universit\u00e9 du Maryland, aux \u00c9tats-Unis. \u00ab\u00a0Tel qu\u2019il est formul\u00e9, le sixi\u00e8me probl\u00e8me ne sera jamais vraiment r\u00e9solu.\u00a0\u00bb<\/p>\n A lire aussi : Mais Hilbert avait propos\u00e9 un point de d\u00e9part. Pour \u00e9tudier les diff\u00e9rentes propri\u00e9t\u00e9s d\u2019un gaz (la vitesse de ses mol\u00e9cules, ou sa temp\u00e9rature moyenne, par exemple), les physiciens utilisent diff\u00e9rentes \u00e9quations. Ils emploient en particulier un premier jeu d\u2019\u00e9quations pour d\u00e9crire le mouvement des mol\u00e9cules individuelles dans le gaz, et un second pour d\u00e9crire le comportement du gaz pris dans son ensemble. Hilbert se demandait s\u2019il \u00e9tait possible de montrer qu\u2019un de ces jeux d\u2019\u00e9quations impliquait l\u2019autre, c\u2019est-\u00e0-dire que ces \u00e9quations, comme les physiciens le supposaient sans l\u2019avoir rigoureusement d\u00e9montr\u00e9, n\u2019\u00e9taient que deux fa\u00e7ons diff\u00e9rentes de mod\u00e9liser une m\u00eame r\u00e9alit\u00e9.<\/p>\n Pendant cent vingt-cinq ans, axiomatiser n\u2019\u00e9tait-ce que ce petit pan de la physique a sembl\u00e9 impossible. Les math\u00e9maticiens ont accompli des progr\u00e8s partiels, produisant des d\u00e9monstrations qui ne fonctionnaient que pour des gaz observ\u00e9s sur des \u00e9chelles de temps extr\u00eamement courtes, ou dans des configurations tr\u00e8s particuli\u00e8res. Mais ces r\u00e9sultats restaient bien loin de ce que Hilbert avait imagin\u00e9.<\/p>\n R\u00e9cemment, trois math\u00e9maticiens sont enfin parvenus \u00e0 relier rigoureusement le microscopique et le macroscopique. Plus \u00e9tonnant, leurs travaux ne repr\u00e9sentent pas seulement une avanc\u00e9e majeure dans le programme de Hilbert, ils touchent aussi \u00e0 des questions li\u00e9es au caract\u00e8re irr\u00e9versible du temps. \u00ab\u00a0C\u2019est un travail magnifique\u00a0\u00bb, estime Gregory Falkovich<\/a>, physicien \u00e0 l\u2019institut Weizmann des sciences. \u00ab\u00a0Un tour de force.\u00a0\u00bb<\/p>\n Sous le m\u00e9soscope<\/p>\n Pourquoi ce pont entre les diff\u00e9rentes \u00e9chelles est-il si difficile \u00e0 b\u00e2tir\u00a0? Pour le comprendre, imaginons un gaz dont les particules sont tr\u00e8s dispers\u00e9es. Un physicien dispose de plusieurs fa\u00e7ons de le mod\u00e9liser.<\/p>\n \u00c0 l\u2019\u00e9chelle microscopique, le gaz est constitu\u00e9 de mol\u00e9cules individuelles qui se comportent comme des boules de billard, se d\u00e9pla\u00e7ant et s\u2019entrechoquant dans l\u2019espace selon les lois du mouvement \u00e9tablies par Isaac Newton voil\u00e0 pr\u00e8s de trois cent cinquante ans. Cette description du gaz est nomm\u00e9e \u00ab\u00a0mod\u00e8le des sph\u00e8res dures\u00a0\u00bb.<\/p>\n Prenons maintenant un peu de recul. \u00c0 cette nouvelle \u00e9chelle \u00ab\u00a0m\u00e9soscopique\u00a0\u00bb, le champ de vision englobe trop de mol\u00e9cules pour qu\u2019on puisse les suivre individuellement. On mod\u00e9lise alors le gaz \u00e0 l\u2019aide d\u2019une \u00e9quation mise au point \u00e0 la fin du XIXe\u00a0si\u00e8cle par les physiciens James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann. Appel\u00e9e \u00ab\u00a0\u00e9quation de Boltzmann\u00a0\u00bb, elle d\u00e9crit le comportement statistique des mol\u00e9cules du gaz, indiquant combien de particules on peut s\u2019attendre \u00e0 trouver \u00e0 diff\u00e9rents endroits se d\u00e9pla\u00e7ant \u00e0 diff\u00e9rentes vitesses.<\/p>\n A lire aussi : Prenons encore du recul, et l\u2019on ne peut plus distinguer le fait que le gaz est constitu\u00e9 de particules individuelles\u00a0: il se comporte comme une substance continue. Pour mod\u00e9liser ce m\u00e9canisme macroscopique (la densit\u00e9 du gaz et sa vitesse en tout point de l\u2019espace), il faut recourir \u00e0 un troisi\u00e8me jeu d\u2019\u00e9quations, les \u00e9quations de Navier-Stokes.<\/p>\n Les physiciens consid\u00e8rent ces trois descriptions du comportement d\u2019un gaz comme compatibles entre elles\u00a0: elles ne seraient que diff\u00e9rents prismes permettant de comprendre une m\u00eame r\u00e9alit\u00e9. Mais les math\u00e9maticiens, d\u00e9sireux de contribuer au sixi\u00e8me probl\u00e8me de Hilbert, voulaient d\u00e9montrer de fa\u00e7on rigoureuse ces \u00e9quivalences. Il leur fallait montrer que le mod\u00e8le newtonien des particules individuelles donne naissance \u00e0 la description statistique de Boltzmann, et que l\u2019\u00e9quation de Boltzmann engendre \u00e0 son tour les \u00e9quations de Navier-Stokes.<\/p>\n Les math\u00e9maticiens avaient d\u00e9j\u00e0 obtenu certains succ\u00e8s sur cette seconde \u00e9tape, en d\u00e9montrant qu\u2019il est possible, dans divers contextes, de d\u00e9duire un mod\u00e8le macroscopique d\u2019un gaz \u00e0 partir d\u2019un mod\u00e8le m\u00e9soscopique. Mais ils ne parvenaient pas \u00e0 r\u00e9soudre la premi\u00e8re \u00e9tape, laissant la cha\u00eene logique incompl\u00e8te.<\/p>\n C\u2019est d\u00e9sormais chose faite. Dans une s\u00e9rie d\u2019articles, les math\u00e9maticiens Yu Deng<\/a>, de l\u2019universit\u00e9 de Chicago, Zaher Hani<\/a> et Xiao Ma<\/a>, tous deux \u00e0 l\u2019universit\u00e9 du Michigan, ont d\u00e9montr\u00e9 l\u2019\u00e9tape la plus difficile<\/a>, celle qui va du microscopique au m\u00e9soscopique, pour un gaz plac\u00e9 dans un contexte sp\u00e9cifique, avant d\u2019obtenir la cha\u00eene compl\u00e8te jusqu\u2019\u00e0 l\u2019\u00e9chelle macroscopique<\/a>.<\/p>\n Des collisions, mais pas trop<\/p>\n Boltzmann avait d\u00e9j\u00e0 pu montrer que les lois de la m\u00e9canique newtonienne donnaient naissance \u00e0 son \u00e9quation m\u00e9soscopique, \u00e0 condition qu\u2019une hypoth\u00e8se cruciale soit v\u00e9rifi\u00e9e\u00a0: que les particules du gaz se d\u00e9placent plus ou moins ind\u00e9pendamment les unes des autres. Dit autrement, il fallait qu\u2019il soit tr\u00e8s rare qu\u2019une paire donn\u00e9e de mol\u00e9cules entre en collision \u00e0 plusieurs reprises.<\/p>\n Mais Boltzmann n\u2019\u00e9tait pas en mesure de d\u00e9montrer de fa\u00e7on d\u00e9finitive que cette hypoth\u00e8se \u00e9tait vraie. \u00ab\u00a0Il ne pouvait \u00e9videmment pas formuler de th\u00e9or\u00e8mes \u00e0 ce sujet car il n\u2019existait, \u00e0 l\u2019\u00e9poque, ni la structure ni les outils pour y parvenir\u00a0\u00bb, explique Sergio Simonella<\/a>, de l\u2019universit\u00e9 de Rome Sapienza.<\/p>\n Le probl\u00e8me est qu\u2019il existe une infinit\u00e9 de fa\u00e7ons pour un ensemble de particules d\u2019entrer en collision, puis de se percuter de nouveau. \u00ab\u00a0On se retrouve avec une explosion du nombre de configurations possibles\u00a0\u00bb, explique David Levermore. D\u00e9montrer l\u2019hypoth\u00e8se de Boltzmann, c\u2019est-\u00e0-dire v\u00e9rifier que les sc\u00e9narios impliquant des collisions r\u00e9p\u00e9t\u00e9es \u00e9taient bien rares, devient un v\u00e9ritable \u00ab\u00a0cauchemar\u00a0\u00bb.<\/p>\n En 1975, le math\u00e9maticien Oscar Lanford est n\u00e9anmoins parvenu \u00e0 le d\u00e9montrer, mais seulement sur des intervalles de temps extr\u00eamement courts<\/a> \u2013 la dur\u00e9e exacte d\u00e9pend de l\u2019\u00e9tat initial du gaz, mais elle est plus br\u00e8ve qu\u2019un clignement d\u2019\u0153il, selon Sergio Simonella. Au-del\u00e0, la d\u00e9monstration s\u2019effondrait\u00a0: avant m\u00eame que la plupart des particules aient eu l\u2019occasion d\u2019entrer en collision une seule fois, Oscar Lanford ne pouvait plus garantir que les collisions r\u00e9p\u00e9t\u00e9es restaient un ph\u00e9nom\u00e8ne rare. Dans les d\u00e9cennies qui ont suivi, de nombreux math\u00e9maticiens ont tent\u00e9 d\u2019\u00e9tendre son r\u00e9sultat, sans succ\u00e8s.<\/p>\n A lire aussi : Puis, presque cinquante ans plus tard, en novembre\u00a02023, Yu Deng et Zaher Hani ont mis en ligne une pr\u00e9publication<\/a> laissant entrevoir la d\u00e9monstration tant attendue. Un article \u00e0 venir, \u00e9crivaient-ils, s\u2019appuierait sur ce dernier r\u00e9sultat pour explorer \u00ab\u00a0l\u2019extension \u00e0 long terme du th\u00e9or\u00e8me d\u2019Oscar Lanford\u00a0\u00bb.<\/p>\n Les autres math\u00e9maticiens ne savaient pas trop comment recevoir cette annonce. \u00ab\u00a0Je ne pensais pas que c\u2019\u00e9tait possible\u00a0\u00bb, confie Pierre Germain<\/a>, de l\u2019Imperial College \u00e0 Londres. Yu Deng et Zaher Hani ne travaillaient d\u2019ailleurs pas habituellement sur les syst\u00e8mes de particules\u00a0: jusque-l\u00e0, ils avaient surtout \u00e9tudi\u00e9 des syst\u00e8mes constitu\u00e9s d\u2019ondes (comme les rayons lumineux). La communaut\u00e9 math\u00e9matique attendait donc avec impatience la d\u00e9monstration promise.<\/p>\n Des ondes aux particules<\/p>\n Yu Deng et Zaher Hani ont commenc\u00e9 \u00e0 travailler sur l\u2019analyse de la transition entre l\u2019\u00e9chelle microscopique et l\u2019\u00e9chelle m\u00e9soscopique dans le cas des ondes. Puis, environ un an avant la sortie de leur pr\u00e9publication, Yu Deng participait \u00e0 une conf\u00e9rence o\u00f9 il a rencontr\u00e9 Xiao Ma, alors doctorant \u00e0 l\u2019universit\u00e9 de Princeton. Ils en sont venus \u00e0 discuter des travaux de Yu Deng et Zaher Hani, et de la mani\u00e8re dont on pourrait adapter leurs m\u00e9thodes aux particules. Cette approche pouvait leur permettre d\u2019\u00e9tendre le r\u00e9sultat d\u2019Oscar Lanford, en montrant que les collisions r\u00e9p\u00e9t\u00e9es de particules restent rares, m\u00eame sur des \u00e9chelles de temps plus longues.<\/p>\n C\u2019\u00e9tait l\u2019objectif que Yu Deng et Zaher Hani envisageaient d\u00e9j\u00e0 depuis un moment. Impressionn\u00e9 par les intuitions de Xiao Ma sur le sujet, Yu Deng l\u2019a invit\u00e9 \u00e0 les aider \u00e0 transformer ce projet en d\u00e9monstration.<\/p>\n Le trio esp\u00e9rait se concentrer sur un sc\u00e9nario tr\u00e8s \u00e9tudi\u00e9, pour lequel les math\u00e9maticiens avaient d\u00e9j\u00e0 d\u00e9montr\u00e9 la seconde \u00e9tape, du m\u00e9so- au macroscopique. Dans ce sc\u00e9nario, un gaz dilu\u00e9 de particules sph\u00e9riques est enferm\u00e9 dans une bo\u00eete\u00a0: lorsqu\u2019une particule heurte l\u2019une des parois de la bo\u00eete, elle r\u00e9appara\u00eet sur la paroi oppos\u00e9e.<\/p>\n Mais pour d\u00e9montrer l\u2019\u00e9tape la plus difficile, celle qui va du microscopique au m\u00e9soscopique, dans ce contexte, Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma devaient transposer aux particules leurs techniques con\u00e7ues pour les ondes. Ils ont donc commenc\u00e9 par un cadre o\u00f9 cette t\u00e2che serait un peu plus simple\u00a0: un gaz dont les particules sont r\u00e9parties al\u00e9atoirement dans un espace infini. Contrairement \u00e0 celles d\u2019un gaz enferm\u00e9 dans une bo\u00eete, qui continuent de rebondir les unes contre les autres ind\u00e9finiment, ces particules finissent par se disperser et cessent d\u2019entrer en collision.<\/p>\n Les trois math\u00e9maticiens devaient d\u2019abord r\u00e9pertorier les diff\u00e9rents types de collisions susceptibles de se produire dans leur gaz, et \u00e9valuer la probabilit\u00e9 de chacun d\u2019entre eux. Ils pouvaient facilement \u00e9carter les sc\u00e9narios impliquant des taux de collisions r\u00e9p\u00e9t\u00e9es particuli\u00e8rement \u00e9lev\u00e9s. Il leur restait alors un nombre fini, bien qu\u2019encore consid\u00e9rable, de configurations \u00e0 analyser, chacune impliquant un certain sous-ensemble de particules entrant en collision dans un ordre donn\u00e9. Une fois qu\u2019ils savaient pr\u00e9cis\u00e9ment ce qu\u2019impliquait chaque configuration, ils pouvaient s\u2019en servir pour en estimer la probabilit\u00e9.<\/p>\n Mais cela relevait souvent d\u2019une t\u00e2che impossible, car nombre de ces configurations impliquaient un tr\u00e8s grand nombre de particules et des interactions complexes et indirectes entre elles. \u00ab\u00a0La structure de ces ensembles [de particules en collision] devient extr\u00eamement compliqu\u00e9e\u00a0\u00bb, explique Yu Deng. En principe, les math\u00e9maticiens auraient d\u00fb suivre simultan\u00e9ment chacune de ces particules pour calculer les estimations de probabilit\u00e9 dont ils avaient besoin.<\/p>\n C\u2019est l\u00e0 que les travaux ant\u00e9rieurs de Yu Deng et Zaher Hani sur les ondes leur ont apport\u00e9 une inspiration d\u00e9cisive. \u00c0 l\u2019\u00e9poque, ils avaient trouv\u00e9 le moyen de d\u00e9composer des motifs complexes d\u2019ondes en interaction en motifs plus simples. Ils avaient soigneusement con\u00e7u leur technique de sorte qu\u2019en ne travaillant qu\u2019avec quelques ondes \u00e0 la fois, ils pouvaient tout de m\u00eame obtenir une bonne estimation de la probabilit\u00e9 du motif d\u2019onde complet, bien plus complexe. Ils esp\u00e9raient que la m\u00eame id\u00e9e fonctionnerait dans le cas des particules.<\/p>\n Mais apr\u00e8s une collision, les particules se comportent tr\u00e8s diff\u00e9remment des ondes. Par exemple, contrairement aux ondes, les particules rebondissent les unes sur les autres, ce qui modifie fortement le motif de collisions qui en r\u00e9sulte, ainsi que sa probabilit\u00e9. Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma ont d\u00fb repenser leur strat\u00e9gie depuis le d\u00e9but.<\/p>\n Mais ils ont conserv\u00e9 cette id\u00e9e de d\u00e9composition des motifs complexes. Ils ont d\u2019abord trait\u00e9 les cas les plus simples, dans lesquels chaque particule n\u2019entre en collision que quelques fois sur un intervalle de temps tr\u00e8s court, sans collision r\u00e9p\u00e9t\u00e9e. Puis ils sont pass\u00e9s progressivement \u00e0 des cas de plus en plus difficiles\u00a0: des dur\u00e9es plus longues, avec davantage de collisions et de collisions r\u00e9p\u00e9t\u00e9es.<\/p>\n Ce travail relevait autant de l\u2019art que de la science. \u00ab\u00a0L\u2019intuition s\u2019est d\u00e9velopp\u00e9e progressivement, \u00e0 partir de quelques tentatives infructueuses\u00a0\u00bb, raconte Yu Deng. Il leur a fallu apprendre \u00e0 d\u00e9couper de grands motifs complexes de collisions de particules de mani\u00e8re \u00e0 simplifier leurs calculs tout en conservant des estimations tr\u00e8s pr\u00e9cises.<\/p>\n \u00ab\u00a0Ce processus prenait des mois, explique Zaher Hani. Nous \u00e9tions constamment bloqu\u00e9s.\u00a0\u00bb Presque tous les jours, ils se retrouvaient en visioconf\u00e9rence pour en discuter. \u00ab\u00a0Au grand dam de mon \u00e9pouse, certaines de ces r\u00e9unions avaient lieu tr\u00e8s tard le soir, ou tr\u00e8s t\u00f4t le matin, raconte Zaher Hani. Je couchais ma fille, puis nous passions deux ou trois heures en visioconf\u00e9rence.\u00a0\u00bb<\/p>\n Au printemps 2024, le trio \u00e9tait enfin certain d\u2019avoir tout couvert. Leur d\u00e9monstration, mise en ligne cet \u00e9t\u00e9-l\u00e0, confirmait que les collisions r\u00e9p\u00e9t\u00e9es devaient \u00eatre extr\u00eamement rares. Ils avaient montr\u00e9, comme ils l\u2019esp\u00e9raient, que dans le cadre d\u2019un espace infini, la description du gaz par l\u2019\u00e9quation de Boltzmann pouvait \u00eatre d\u00e9riv\u00e9e de la m\u00e9canique newtonienne des sph\u00e8res dures. Les \u00e9chelles microscopique et m\u00e9soscopique se trouvaient d\u00e9sormais r\u00e9unies au sein d\u2019un m\u00eame cadre math\u00e9matique rigoureux.<\/p>\n
\n Ces probl\u00e8mes qui d\u00e9fient les math\u00e9maticiens <\/a><\/p>\n
\n Le comportement des gaz : d’une limite \u00e0 l’autre <\/a><\/p>\n
\n Les sph\u00e8res dures en physique statistique <\/a><\/p>\n