Milleks meile üldse matemaatika? Kalkulaatorid on meil kõigil taskus ja tehisintellekt on samuti pidevalt käepärast.
Kipume tõesti vahel unustama, miks me matemaatikat koolis õpime. Vastus on tegelikult väga lihtne ja see on ainekavas kirjas: matemaatikaõppe eesmärk on kujundada eale vastav matemaatikapädevus.
Seega seal ei ole kirjas, et eesmärk on osata lahendada ruutvõrrandit või lihtsustada avaldisi. Oluline on, et inimesel kujuneks võime mõista ja kasutada matemaatikat nii selle maailma kirjeldamiseks, iseenda arendamiseks ja eesmärkide saavutamiseks, aga ka ühiskonnaelus osalemiseks.
Me väga sageli arvame, et matemaatika kasutamine tähendab seda, et läheme kohvikusse ja mõistame, et viie euro eest saame osta kaks saiakest või arvutades, mitu plaati läheb vaja, et põrand ära katta. See on tavaarusaam matemaatika kasutamisest. Matemaatikapädevus ei ole üks valem, vaid kompleksne oskus, mis kujuneb teadmistest, oskustest, uskumustest ja hoiakutest.
“Matemaatikapädevus ei tähenda ilmtingimata matemaatikavalemi kasutamist poes või aias. See on midagi kompleksemat ja inimese jaoks nähtamatut.”
Kui oled matemaatikapädev inimene, oled inimene, kes näeb maailmas mustreid, loeb maailma teistmoodi ning tegutseb selles maailmas teistmoodi ja tõlgendab seda maailma matemaatiliselt nutikalt, kuigi samal ajal inimene ei lahenda integraali.
Matemaatikapädevus ei tähenda ilmtingimata matemaatikavalemi kasutamist poes või aias. See on midagi kompleksemat ja inimese jaoks nähtamatut. See ei ole lihtsalt kodus remonditegemine, vaid kuidas sa ühiskonnas osaled, uudiseid kuulad ja aias lilli istutad ehk siis see, kuidas sa mõtled.
Kui te mõtlete tagasi oma kooliaja matemaatikatundide peale, mis teile esimesena meenub?
Kindlasti olid need mulle huvipakkuvad ja väljakutset pakkuvad. Kui küsite, mis esimesena pähe tuleb, on see kiirus. Mingil põhjusel oli meil matemaatikatunnis oluline lahendada ülesandeid võimalikult palju ja kiiresti. Meil oli päris suur punt, võib-olla isegi 10–15 inimest, kes tahtsid ühe tunniga lahendada võimalikult palju ülesandeid, justkui üle normi.
Lisaks meenub väga korrektne, struktureeritud õpetaja, kellel tuli materjal täpselt planeeritud järjekorras. See oli meie jaoks mõnusates portsudes. Aga jah, kiirus on mingil põhjusel peamine sõna. Kuna ma olin matemaatika-füüsika eriklassis, võib-olla see oligi tingitud sellest, et kõigil ruumis olijatel oli eriline huvi reaalainete vastu ja meil oli ühine soov matemaatikat võimalikult palju teha.
Kui te mõtlete sellele, kuidas tänapäeval matemaatikat õpetatakse, siis kas siin on ajas midagi muutunud?
See sõltub õpetajast. Mõni õpetaja võib-olla õpetabki nii, nagu ta õpetas 20 või 30 aastat tagasi, teine aga areneb pidevalt. Ma ise läksin üle 20 aasta tagasi kooli matemaatikat õpetama ja kui võrrelda seda õpetajat, kes ma toona olin, sellega, kes ma praegu olen, siis nendel kahel inimesel pole vist mitte midagi ühist. Sa saad aru, et sul on küll teadmised ja oskused matemaatika valdkonnast, ülddidaktikast ja hariduspsühholoogiast, aga uuringud näitavad, et ainult teadmistest selles valdkondades ei piisa.
Me näeme, et matemaatikaõpetaja teadmiste ja oskuste ning õppija tulemuste vahel ei ole otsest seost. Seal on veel nii-öelda mediaatorid, mis näitavad, kui keeruline on õpetamise protsess tegelikult ja kui keeruline on tänapäeval olla õpetaja.
Hea matemaatika õpetamise oskus on kompleksne pädevus, kuhu kuuluvad teadmised, oskused, hoiakud ja uskumused. See, kuidas see kõik klassiruumis realiseerub, hakkab avaldama mõju õppija tulemusele. Lihtsalt see, et sa tead midagi ülddidaktikast, hariduspsühholoogiast, valdad matemaatikat ja oskad näiteks kolmekordseid integraale hästi lahendada, ei avalda veel mõju sellele, kuidas sinu õppijatel matemaatikatunnis läheb.
On vaja osata midagi enamat. See, kuidas sa õpetajana tunnis tegutsed, mida sa märkad, kuidas sa seda tõlgendad ja milliseid otsuseid vastu võtad – see peab olema teaduspõhine ja sinu kogemusega seotud. See kõik avaldab õppijale mõju.
Mis teeb ühest matemaatikaõpetajast hea matemaatikaõpetaja?
Tal on kujunenud vastav pädevus: teadmised, uskumused ja hoiakud. Kui aga seda kitsendada, siis ma ütleksin, et hea õpetaja on empaatiline. Alustame kognitiivsest empaatiast: matemaatikatunnis on väga oluline arvestada õppijate eelteadmistega ning luua nii kognitiivselt kui ka emotsionaalselt turvaline keskkond.
“Hea õpetaja on empaatiline. Matemaatikatunnis on väga oluline arvestada õppijate eelteadmistega ning luua nii kognitiivselt kui ka emotsionaalselt turvaline keskkond.”
Õpetaja peab looma keskkonna, kus õppija stardib õigest kohast. Sa pakud just neid ülesandeid, mis aitavad tal aktiveerida tema eelteadmisi ja sealt järk-järgult matemaatikat üles ehitada.
Miks on matemaatika keeruline? Kui ma ise koolis õpetaja olin, vastasin sageli, et matemaatika on keeruline eelkõige seetõttu, et see on väga loogiline. Sellel on väga selge struktuur, hierarhia ja see on spiraalne: õpid midagi, tuled uue ringiga tagasi ja asi muutub abstraktsemaks, siis lähed uuele ringile ja see muutub veel abstraktsemaks.
Kõik on omavahel seotud ja matemaatika on aine, kus õpilüngad on kohe selged. Sa ei saa paar-kolm kuud vahele jätta ja siis tundi ilmuda, et oh, tere, mina siin. See on sama nagu jalgrattaspordis: kõik sõidavad eest ära ja sul on vaja startida, aga sul on ikka ju vaja startida algusest. Sa ei saa startida sealt, kuhu teised juba kahe tunniga jõudnud on. Sama on matemaatikas. See ongi matemaatikas kõige suurem väljakutse, et peame kujundama keskkonna igale õppijale sobivaks.
Diferentseerimise küsimus oli aktuaalne juba siis, kui ma olin tudeng, ja on endiselt aktuaalne. Kuidas pakkuda igale õppijale just talle vajalikku väljakutset – ei liiga lihtsat ega liiga rasket? Ma arvan, hea matemaatikaõpetaja ongi see, kes on hea kognitiivse empaatiaga ja annab õppijale sobivat tagasisidet, nii et ta oma arengus matemaatikas ikka ühe sammu võrra edasi läheb.
Samas kui klassid on üsna suured, siis on päris raske ju seda individuaalset tagasisidet anda ja arvestada erinevate tasemetega.
On, aga mul endal tuleb alati meelde minu enda keemiaõpetaja. Tema oli ka matemaatiliselt väga tugev, sest keemia on ju matemaatikat täis. Ma olen alati imestanud, kuidas ta suutis luua nii palju tunnikontrolli variante kui palju oli meil klassis õpilasi. Ta vaatas täpselt, kus maal keegi on, et ta saaks tunnikontrollis paraja väljakutse.
“Diferentseerida saab ka rühmapõhiselt. Mida teadlased ei soovita, on eraldada need, kes on matemaatikas kiiresti edasi jõudnud nendest, kes on maha jäämas.”
Igaühele ei pea eraldi lähenema. Isegi kui klassis on 30 õpilast, ei ole nad kõik täiesti erinevad. Seal on ikkagi mustrid: ühtedel on ühte tüüpi vead ja väärarusaamad, teistel teist tüüpi. Seega saab diferentseerida ka rühmapõhiselt.
Mida teadlased aga ei soovita, on eraldada need, kes on matemaatikas kiiresti edasi jõudnud nendest, kes on maha jäämas, ehk siis teha eraldi tasemerühmi. Parem on õpilasi koos tegutsema panna ja diferentseerida ülesandeid ühises klassiruumis.
Soomes võrreldi hiljaaegu praeguseid matemaatikaõpikuid 30 aasta tagustega ja sealt järeldati, et praegused lapsed lahendavad mõnevõrra lihtsamaid ülesandeid. Kuidas teile tundub, kas meil Eestis on ajaga matemaatika ainekava õhemaks jäänud? Kas tänapäeva lapsed peavad õppima vähem kui näiteks 30 aastat tagasi?
“Matemaatika ainekava on väga tihedalt teemasid ja sisu täis, aga ma ei ole kindel, et kõik, mis meil on praegu ainekavas, on sellisel kujul vajalik.”
Ma ei usu ega väidaks, et meie matemaatika ainekava on läinud lihtsamaks. Mulle tundub, et meie matemaatika ainekava nii põhikoolis kui ka gümnaasiumis on ikkagi väga sisutihe. Teemasid ja mõisteid on palju.
Me oleme küll viimaste väikeste reformidega siin-seal muutusi sisse viinud, näiteks tõstnud protsendi arvutamise kuuendast klassist seitsmendasse või murdvõrrandid üheksandast kümnendasse. Minu seisukoht on, et sellised teemade tõstmised ühest klassist teise ei ole tegelikult avaldanud loodetud mõju. Asi ei ole ühe teema asukohas.
Matemaatika ainekava on ikkagi väga tihedalt teemasid ja sisu täis, aga ma ei ole kindel, et kõik, mis meil on praegu ainekavas, on sellisel kujul vajalik. Peaksime ka Eestis ümber mõtestama, miks me midagi koolis õpetame, eriti olukorras, kus tehnoloogia nii kiiresti areneb ja teatud asju tehaksegi tehnoloogia abil.
Tõenäoliselt matemaatika õppimine ajas ei lähe lihtsamaks, vaid muutub rohkem väljakutset pakkuvaks, mõtestatumaks ja sisukamaks. Seda räägin ka oma tudengitele, kes ütlevad, et kümne aasta pärast pole paljusid asju vaja, sest tehisintellekt teeb kõik ära. Minu hüpotees on vastupidine: tõenäoliselt hakkavad tudengid kümne aasta pärast ülikooli tulles õppima palju sisukamaid ja kontseptuaalselt keerulisemaid asju kui praegu. Nii et tõenäoliselt matemaatika tase ei lange, vaid peaks tegelikult tõusma.
“Tõenäoliselt hakkavad tudengid kümne aasta pärast ülikooli tulles õppima palju sisukamaid ja kontseptuaalselt keerulisemaid asju kui praegu.”
Kui palju on Eestis kasutatavad matemaatikaõpikud ajas muutunud?
Ma õpetan ka põhikooli metoodikat ja olen erinevaid õpikuid näinud. Esiteks on neid palju rohkem juurde tulnud kui paarkümmend aastat tagasi.
Võib öelda, et mõned uuemad õpikud kasutavad natuke rohkem pilte, aga ei saa öelda, et need oleksid tõsiselt muutunud. Jah, neid on täiendatud, on toodud sisse ülesandeid, mis nõuavad näiteks arvutit, aga üldiselt on õpikute loogika minu jaoks aastate jooksul samaks jäänud.
Ehk siis sisu on sama, lihtsalt vorm on natuke teistsugune?
Jah, ma ütleksin küll. Mina ei oska praegu välja tuua, et midagi oleks tõsiselt muutunud.
Aga kas see, et vorm on pildilisem ja natuke teistsugusem võrreldes aastate taguse ajaga, on õpilaste vaatest pigem positiivne?
Seda oleks vaja uurida. Mina isiklikult ei ole õpiku-uuringuid läbi viinud, aga ma tean, et Eestis on neid tehtud. Üks umbes viis aastat tagasi tehtud uuring tõi selgelt välja, et ainult kümme protsenti meie õppijatest on võimelised õpikuga iseseisvalt töötama. Kõik ülejäänud vajavad abi. Siin tekib fundamentaalne küsimus: kelle jaoks siis see õpik on loodud? Kas õpetaja või ikkagi õppija jaoks?
“Ainult kümme protsenti meie õppijatest on võimelised õpikuga iseseisvalt töötama. Kõik ülejäänud vajavad abi. Siin tekib fundamentaalne küsimus: kelle jaoks siis see õpik on loodud?”
Selle uuringu põhjal ütleks siis, et pigem õpetaja jaoks.
Vähemalt suur osa meie õppijatest selle õpikuga iseseisvalt hakkama ei saa.
Rääkides teie tudengitest, siis ma vaatasin teie ainetele jäetud tagasisidet. Keegi kirjutas näiteks niimoodi: te suudate ka vihmaussidele kolmekordseid integraale selgitada. Kuidas te teete matemaatika oma tudengitele nii selgeks, et nad sellest imelihtsalt aru saavad?
Ma olen päris palju vaeva näinud selle nimel, et teha oma tudengite õppeprotsess enda jaoks läbipaistvaks. Mul on suur eelis, sest ma kasutan õppetöös väga palju tehnoloogiat ja näen reaalajas, kuidas tudengid minust aru saavad. See on tohutu eelis – näha, kuidas sinust aru saadakse. Ja kui ma ei saa aru, kuidas inimene mõtleb, siis ma küsin ja ta selgitab.
Ma arvan, et võti ongi see, et õppeprotsess on minu jaoks läbipaistvam. Ma mõistan oma õppijaid paremini, suudan pakkuda paremat tagasisidet ja minna nii mitu sammu tagasi, kui vaja on. Kui saan aru, et tänaseks planeeritud teema on liiga suur hüpe, siis ma võtan tagasi ja lisan vahele ülesandeid, mis aitavad õppijatel aktiveerida just vajalikud eelteadmised.
Asi ongi ainult selles, et sa pead andma igale inimesele sobiva ülesande, et vajalikud teadmised aktiveeruksid. Järgmise ülesandega seod vana asja uue külge, tekib uus teadmine ja nii liigumegi samm-sammult edasi.
Sel aastal, 9. oktoobril algusega kell 10 toimub taas üle-eestiline e-rehkendus. E-rehkenduse viib läbi Tallinna Tehnikaülikool koostöös ERR-iga. Ettevõtmise eesmärk on matemaatika kui eluks olulise vahendi propageerimine ning selle tähele panemine ka teistes eluvaldkondades.
Kõik huvilised saavad ERR-i portaalis erehkendus.err.ee rinda pista tosina 1.-12. klassi matemaatika ülesandega, et saada teada, mis tasemel on nende matemaatikaoskus. Mõõtu saab võtta ka pereringis, töökollektiiviga, sõpruskonnaga, klassiga vmt.