Martín Rey comenzó a competir a los 11 años y en 2015 se unió a la estructura del Club Ciclista Padronés, donde se formó como corredor en las categorías infantil, cadete y juvenil. Posteriormente pasó por el Bembibre leonés, ganando varias carreras como junior y la general de la Copa de Galicia en su primer año como sub-23. En 2023 regresó a su casa, el Equipo Cortizo, donde se ha formado como persona y como ciclista las últimas tres temporadas. En su primer año con el equipo gallego, ganó la Volta o Baixo Minho, acabó segundo en el Gran Premio Cidade de Vigo por detrás de su compañero Sergio Chumil y cerró el curso por todo lo alto ganando la carrera de casa, la durísima Volta a Galicia.
En 2024, su mayor logro fue el tercer puesto en la prueba en ruta del Campeonato de España sub-23 disputado en San Lorenzo de El Escorial, carrera conquistada por su compañero Hugo de la Calle. También ganó una etapa en la Vuelta a Salamanca, donde acabaría tercero en la general, y repitió triunfo en el Gran Premio Cidade de Vigo. Además, brilló en el calendario portugués, acariciando el podio con una cuarta plaza en la Prova de Abertura y logrando el maillot del mejor joven en el Gran Premio Anicolor. En vista de su buena trayectoria, el Burgos Burpellet BH le dio la oportunidad de correr como stagiaire en el Tour de Langkawi, como paso previo a su futuro fichaje. Allí ayudó a José Manuel Díaz en la pelea por la general y acabó 30º clasificado.
