In de lente van 1694 had Isaac Newton een discussie met de Schotse wiskundige David Gregory. Het gesprek vond plaats op de campus van de universiteit van Cambridge. Wat er precies werd gezegd, is onduidelijk, maar uit Newtons later gepubliceerde correspondentie blijkt dat het ging over de vraag hoeveel bollen van gelijke grootte een centrale bol, van diezelfde grootte, kunnen raken. Later zijn wiskundigen dat aantal ‘kusgetal’ gaan noemen – een verwijzing naar biljartballen die elkaar ‘kussen’ als ze na een stoot tegen elkaar aan komen te liggen.
Newton en Gregory zullen hebben geweten dat het kusgetal ten minste twaalf is. Plaats de middelpunten van twaalf identieke bollen op de twaalf hoekpunten van een icosaëder (regelmatig twintigvlak), en binnen in die icosaëder één centrale bol. De twaalf buitenste bollen kussen dan die centrale bol, maar niet elkaar. Ze hebben zelfs zoveel speling dat ze van plaats kunnen wisselen zonder het contact met de centrale bol te verbreken. Misschien past er dus wel een dertiende bol bij als je die twaalf bollen zoveel mogelijk tegen elkaar aanlegt?
Hoe Newton en Gregory hierover dachten, zullen we nooit weten, al wordt er gespeculeerd dat Newton overtuigd was van de onmogelijkheid van dertien rakende bollen, terwijl Gregory dacht dat het misschien wél kon. Als die reconstructie van hun standpunten klopt, kreeg Newton gelijk: het kusgetal in drie dimensies is twaalf, niet dertien. Het eerste algemeen geaccepteerde bewijs werd pas in 1952 geleverd, door de Duitser Kurt Schütte en de Nederlander Bartel van der Waerden.
Bollen in hogere dimensies
Gewone bollen zijn driedimensionaal, maar in de negentiende eeuw begon de wiskunde zich los te maken van concrete beelden en ontstond er een trend naar abstractie. Bollen in hogere dimensies zijn niet meer te visualiseren, maar wel te beschrijven met coördinaten. Hoe hoger het aantal dimensies, hoe vreemder hun gedrag. Zo is het volume van een ‘n’-dimensionale bol voor grote waarden van ‘n’ heel klein: bijna alle ‘ruimte’ ligt als het ware buiten de bol.
De laatste jaren zijn er opmerkelijke resultaten geboekt, zowel met klassiek wiskundig werk als met behulp van kunstmatige intelligentie
Het bepalen van het kusgetal in zulke ruimten is een uitdagende klus, en slechts een handvol gevallen is exact opgelost: in de dimensies vier, acht en 24 is het kusgetal 24, 240 respectievelijk 196.560. In andere dimensies weten wiskundigen dat bepaalde aantallen kussende bollen mogelijk zijn, omdat ze zulke configuraties kunnen construeren. Dat levert zogenoemde ‘ondergrenzen’ voor het kustgetal op; het werkelijke kusgetal is minstens zo groot.
Een toepassing die het onderzoek naar kusgetallen rechtvaardigt, heeft betrekking op het feit dat rakende bollen in hogerdimensionale ruimten nauw samenhangen met het corrigeren van fouten in communicatiesystemen. Bij het verzenden van digitale signalen kunnen bits door ruis verschuiven. Elke mogelijke boodschap wordt daarom voorgesteld als een punt in een hogerdimensionale ruimte, met rondom dat punt een bol waarbinnen fouten nog te corrigeren zijn. Hoe meer bollen zonder overlap rond een centrale bol passen, hoe sneller de communicatie.
De laatste jaren zijn er opmerkelijke resultaten geboekt, zowel met klassiek wiskundig werk als met behulp van kunstmatige intelligentie. Wiskundige Mikhail Ganzhinov deed een promotieonderzoek aan de Aalto-universiteit in Finland en heeft sinds kort een postdoc-positie in Bulgarije. Hij stelde drie nieuwe ondergrenzen vast: in dimensie tien is het kusgetal minstens 510, in dimensie elf minstens 592 en in dimensie veertien minstens 1.932. In oktober verschenen zijn resultaten in het vakblad Linear Algebra and Its Applications, al dateert het onderliggende onderzoek van enkele jaren eerder: de peer review duurde erg lang.
Patrick Östergård: „Zes munten kun je strak rond één munt leggen. Maar in drie dimensies sluiten twaalf bollen niet op dezelfde manier aan rond een middelste bol.”
Foto Getty Images/iStockphoto
Zoom in
Met dit werk bracht Ganzhinov voor het eerst in twintig jaar beweging in het kusgetalprobleem onder de vijftiende dimensie. Maar terwijl zijn artikel in beoordeling was, werd hij wat betreft dimensie elf ingehaald door AlphaEvolve, een programma uit het kunstmatige-intelligentielaboratorium DeepMind. In mei van dit jaar meldde DeepMind dat AlphaEvolve een configuratie had gevonden waarbij 593 elfdimensionale bollen een centrale bol raken – één meer dan Ganzhinov. De werkelijke waarde ligt vermoedelijk nog hoger. „Ik denk dat die ondergrens van 593 tot ver boven de 600 kan worden opgeschroefd”, zegt Ganzhinov.
Elfdimensionale ruimte
Om een idee te krijgen van hoe een kunstmatige intelligentie tot zo’n resultaat komt, kun je je één centrale bol voorstellen, met straal 1, op een vaste plek in de elfdimensionale ruimte. Het algoritme krijgt de opdracht om vanuit het middelpunt van die bol een vast aantal richtingen in de ruimte te kiezen en in elke richting een bol met straal 1 te plaatsen, op afstand 2 van het middelpunt van de centrale bol.
Vervolgens kijkt het algoritme hoe dicht die bollen bij elkaar komen: voor elk paar bollen wordt de afstand tussen hun middelpunten berekend. Liggen ze dichter bij elkaar dan twee eenheden, dan overlappen die bollen elkaar, wat niet is toegestaan. De configuratie krijgt dan ‘strafpunten’: hoe meer overlap, hoe groter de straf. Het programma probeert het totale aantal strafpunten zo dicht mogelijk bij nul te krijgen: al zoekend en bijsturend probeert het een geldige rangschikking van bollen te creëren.
In het werk van Ganzhinov vormt algebra de kern, al gebruikte ook hij een computer om een beeld te krijgen van de onderliggende structuur. Ganzhinovs promotor Patric Östergård ziet de minimale verbetering van AlphaEvolve – van 592 naar 593 in dimensie elf – niet als een grote AI-triomf. Integendeel: in andere dimensies vond AlphaEvolve helemaal geen verbeteringen. „Als dit is wat een groot team van uitstekende programmeurs met de beste AI-software op dit moment kan bereiken, dan laat dat zien dat je een suboptimale algemene aanpak niet kunt compenseren met AI, of dat AI er niet in is geslaagd een significant betere aanpak te vinden”, mailt Östergård.
De dimensies waarin Ganzhinov en AlphaEvolve scherpere ondergrenzen voor het kusgetal vonden, lijken nogal willekeurig: tien, elf en veertien. Andere wiskundigen richtten zich weer op andere dimensies. Bijvoorbeeld het duo Henry Cohn Anqi Li: in een nog niet officieel gepubliceerd artikel vonden zij verbeteringen in de dimensies 17 tot en met 21.
Prachtige structuren
Wiskundige ruimten verschillen sterk per dimensie. Een techniek die in de ene dimensie goed werkt, is in een andere dimensie juist onbruikbaar. In de door Ganzhinov onderzochte ruimten was nog veel winst te behalen, omdat daar geen scherpe ondergrenzen bekend waren. Ganzhinovs aanpak bleek daar gewoon goed te werken. In vijf dimensies is het moeilijker om een werkbare methode te vinden, juist omdat de huidige ondergrens van 40 al érg scherp is: we weten dat het kusgetal in dimensie vijf minimaal 40 en maximaal 44 is.
Östergård over de diverse dimensies: „In de eenvoudige tweedimensionale wereld zijn bollen gewoon cirkels op een plat vlak. Zes munten kun je strak rondom één munt leggen. Maar in drie dimensies sluiten twaalf bollen niet op dezelfde manier aan rond een middelste bol. In acht en vierentwintig dimensies kennen we prachtige structuren; daar weten we het kusgetal exact.”
Zoom in
Schrijf je in voor de nieuwsbrief NRC Wetenschap
Op de hoogte van kleine ontdekkingen, wilde theorieën, onverwachte inzichten en alles daar tussenin
Inschrijven
Uitschrijven
Geef cadeau
Deel
Mail de redactie
NIEUW: Geef dit artikel cadeau
Als NRC-abonnee kun je elke maand 10 artikelen cadeau geven aan iemand zonder NRC-abonnement. De ontvanger kan het artikel direct lezen, zonder betaalmuur.
Waarom je NRC kan vertrouwen