Uma equipe de matemáticos está desenvolvendo ferramentas para ampliar o escopo da Teoria da Relatividade de Einstein. Foto: Harol Bustos para Quanta Magazine

Em outubro de 2015, um jovem matemático chamado Clemens Sämann estava voltando para a Áustria, vindo de uma conferência em Turim, Itália, quando teve um encontro casual. Ele se viu sentado ao lado de Michael Kunzinger, outro participante da conferência.

Kunzinger era professor de Matemática na Universidade de Viena, onde Sämann havia acabado de iniciar sua pesquisa de pós-doutorado. Logo começaram a conversar, chegando a um assunto que Sämann já vinha refletindo desde a pós-graduação — se havia uma maneira matemática de contornar as limitações da teoria geral da relatividade de Albert Einstein.

A teoria de Einstein define a gravidade como a curvatura do espaço-tempo causada pela presença de matéria e energia. Desde sua formulação, em 1915, ela tem se mantido notavelmente bem.

Composta por 10 equações diferenciais interconectadas, a teoria descreve como os objetos caem, como a luz se curva e como planetas, estrelas e galáxias se movem. Ela nos diz que o universo está se expandindo e previu a existência de buracos negros e ondas gravitacionais um século antes de serem definitivamente observados.

Mas, apesar desses sucessos, a teoria de Einstein também apresenta deficiências. Suas equações só conseguem descrever como a matéria curva o espaço-tempo quando a geometria desse espaço-tempo é suave — sem cantos ou cúspides agudos, sem regiões onde se torne repentinamente irregular. Imagine o espaço-tempo como uma folha de borracha plana e a matéria como uma bola de boliche colocada sobre essa folha, fazendo com que ela se curve. Se o espaço-tempo for suave, essa curvatura será gradual.

Mas os físicos sabem que isso nem sempre é verdade. Um buraco negro, por exemplo, deforma o espaço-tempo com mais violência, fazendo com que a camada se curve bruscamente até que, no centro do buraco negro (uma chamada singularidade), a curvatura “explode”, tornando-se infinita.

Alguns físicos chegam a postular que o espaço-tempo não se torna não suave apenas em singularidades isoladas, mas em todos os pontos. Em escalas menores, o espaço-tempo pode ser “discreto” ou pixelado — fragmentado em pedaços minúsculos e desconexos, da mesma forma que um fluido, embora pareça uma entidade única e uniforme, é, na verdade, composto de átomos e moléculas distintos.

Nessas situações, a relatividade geral chega a um impasse. Sempre que o espaço-tempo não é suficientemente suave, as equações de Einstein param de funcionar. Elas não conseguem mais nos dizer como a matéria curva o espaço-tempo, ou como o espaço-tempo curvo influencia a matéria.

Isso ocorre porque as equações se baseiam em uma técnica do cálculo chamada diferenciação , que mede a rapidez com que as funções mudam, e a diferenciação não é mais possível em cenários que estão longe de ser suaves. Assim, em seu voo de volta à Áustria, Kunzinger e Sämann se perguntaram se poderiam desenvolver métodos alternativos — métodos que ainda funcionassem nos ambientes inóspitos onde as ferramentas usuais do cálculo falhavam.

Clemens Sämann ajudou a provar importantes teoremas de singularidade em espaços-tempos que “poderiam ter cantos, arestas e dobras”. Foto: Der Knopfdrücker

A dupla só começaria a trabalhar seriamente no problema um ano depois. Mas, desde então, fizeram avanços significativos em direção ao seu objetivo. Encontraram novas maneiras de estimar a curvatura e outras propriedades geométricas sem depender de suavidade e diferenciação. Em colaboração com outros pesquisadores, usaram seus métodos para rederivar (e às vezes fortalecer) teoremas fundamentais sobre o universo sem depender das equações de Einstein, colocando esses teoremas em bases matemáticas ainda mais sólidas.

E agora fazem parte de um novo programa ambicioso — lançado no ano passado sob a direção de Roland Steinbauer, outro matemático da Universidade de Viena — que visa fornecer “uma nova geometria para a teoria da relatividade de Einstein e além”.

“A relatividade geral padrão fala sobre objetos geométricos, ou seja, espaços-tempos, mas somente se eles se comportarem de forma adequada”, disse Steinbauer. “Com esta nova estrutura, podemos ir além disso. Podemos lidar com objetos muito nervosos, objetos com comportamento muito ruim.”

Um caminho via triangulação

Quando Kunzinger e Sämann começaram a trabalhar juntos em 2016, seu primeiro objetivo foi revisitar um dos conceitos mais básicos que aparecem nas equações de Einstein: a curvatura.

Curvatura é uma medida de quanto o espaço-tempo se curva em um determinado ponto. Há muitas maneiras de descrevê-la matematicamente. Normalmente, analisar esses diferentes tipos de curvatura requer cálculo. Mas Kunzinger e Sämann queriam encontrar uma maneira de estimar a curvatura do espaço-tempo sem exigir suposições de suavidade. Em particular, eles queriam fazer isso para o tipo de curvatura central às equações de Einstein — a chamada curvatura de Ricci — para que pudessem então usar seus métodos para comprovar afirmações importantes sobre buracos negros e outros fenômenos.

Mas a curvatura de Ricci é complexa, e Kunzinger e Sämann não estavam prontos para abordá-la — ainda. Primeiro, eles se voltaram para uma noção mais direta de curvatura, chamada curvatura seccional, que indica como diferentes fatias bidimensionais do espaço-tempo se curvam em um ponto. Se pudessem calcular essa curvatura em cenários não suaves, isso ainda lhes permitiria adotar versões mais restritas das afirmações que queriam provar.

Eles tinham uma ideia de por onde começar. Quando se trata de espaços matemáticos comuns — em vez do confuso espaço-tempo da relatividade geral —, os matemáticos têm uma maneira alternativa de descrever a curvatura seccional há décadas. O método permite que eles limitem a curvatura de uma forma usando triângulos simples.

Digamos que você tenha uma superfície bidimensional que se assemelha a uma esfera. Para estimar sua curvatura, primeiro desenhe três pontos na superfície e conecte-os com os caminhos mais curtos (e, portanto, mais retos) possíveis. Isso lhe dará um triângulo. Em seguida, desenhe outro triângulo com os mesmos comprimentos de lado em um plano. Você já sabe a curvatura do plano: é zero. Então este novo triângulo lhe dará uma referência útil.

Agora compare os dois triângulos. Você verá que o triângulo na superfície esférica tem ângulos maiores do que o triângulo no plano, e que um segmento de reta desenhado entre os pontos médios de dois de seus lados é maior. Isso indica que a curvatura da sua superfície é maior que zero.

Da mesma forma, você pode comparar o triângulo original com um desenhado em uma superfície altamente curva (como uma esfera de raio pequeno, cuja curvatura pode ser facilmente calculada) para obter um limite superior. Se você continuar ajustando suas superfícies de comparação, poderá encontrar uma faixa de curvaturas mais precisa para a superfície de interesse.

Ao comparar triângulos dessa maneira, os matemáticos evitam a necessidade de calcular a curvatura usando cálculo — e seu método não exige que as superfícies que eles estudam sejam suaves.

Kunzinger e Sämann queriam adaptar esse método para que funcionasse também para o espaço-tempo. Mas realizar comparações triangulares no contexto da relatividade geral é mais complicado, porque o espaço-tempo possui algumas características estranhas e contraintuitivas. Distâncias, por exemplo, não são mais absolutas. Elas se contraem ou se expandem dependendo da velocidade do observador. Além disso, cálculos que envolvem a dimensão temporal são diferentes daqueles que envolvem apenas as dimensões espaciais. (Movimentar-se na direção temporal subtrai dos cálculos de distância, em vez de adicioná-los.)

Michael Kunzinger quer estender a teoria geral da relatividade de Einstein para cenários menos suaves — e talvez mais realistas. Foto: Joseph Krpelan

Assim, Kunzinger e Sämann escolheram medir a distância em termos de “separação temporal” — o tempo que leva para viajar de um ponto a outro, de acordo com um relógio que se move ao longo desse caminho. (Eles presumiram que nunca é possível viajar mais rápido do que a velocidade da luz.)

Ao desenharem cada lado do triângulo, escolheram o caminho que produziria a máxima separação temporal. Ou seja, cada aresta formava o caminho mais longo possível (em termos de tempo), não o mais curto. Isso porque esse caminho, assim como sua contraparte em uma superfície matemática convencional, ainda é o mais reto possível. Uma definição de distância baseada no tempo desafia nossos instintos habituais. Um caminho mais sinuoso através do espaço-tempo, na verdade, leva menos tempo do que um mais reto. “Aqui, os desvios são mais curtos”, disse Kunzinger. “Esse é o ponto crucial da nova configuração.”

Usando essa noção de distância, ele e Sämann desenharam triângulos em um determinado modelo de espaço-tempo e os compararam com aqueles desenhados em um modelo de referência cuja curvatura já era conhecida. Eles então demonstraram que seu método pode fornecer boas estimativas de curvatura: eles poderiam usá-lo para demonstrar, por exemplo, que no interior de um buraco negro, a curvatura seccional se torna infinita.

E funcionaria em qualquer ambiente não suave que escolhessem, disse Sämann, desde que pudessem definir a distância em termos de tempo da mesma forma. “Seu espaço-tempo pode ter cantos, bordas e dobras, e isso não importa”, disse ele. “Essa abordagem não se importa com a não suavidade.”

Agora eles queriam fazer algo com sua abordagem.

Uma preocupação singular

Em 1965, o físico Roger Penrose provou um teorema pelo qual posteriormente recebeu o Prêmio Nobel. Usando argumentos geométricos, ele provou que, sob certas condições (como a presença de uma “superfície aprisionada” causada pela atração gravitacional de uma estrela em colapso), uma singularidade inevitavelmente se formará — um ponto onde a curvatura se torna tão intensa, e a gravidade tão forte, que mesmo os raios de luz que se afastam dele não conseguem escapar. Em outras palavras, as singularidades nos centros dos buracos negros não eram apenas abstrações matemáticas; elas poderiam de fato se formar no universo.

No ano seguinte, Stephen Hawking traduziu a ideia de Penrose para um contexto cosmológico, mostrando que, se assumirmos novamente certas condições, deve ter havido uma singularidade em algum momento no passado. O teorema de Hawking, segundo Steinbauer, “é geralmente considerado uma evidência matemática da ocorrência de um Big Bang”.

Mas as provas de Penrose e Hawking exigiam que eles assumissem que o espaço-tempo era suave — uma limitação que o próprio Hawking reconheceu em um livro de 1973 que escreveu com o físico George Ellis.

Uma equipe de matemáticos liderada por Roland Steinbauer (acima à direita) está desenvolvendo novas técnicas geométricas para responder a perguntas sobre o nosso universo. Raquel Perales (acima à esquerda) e Chiara Rigoni são duas das principais pesquisadoras da equipe. PARA USO EXCLUSIVO NO MATERIAL DA QUANTA MAGAZINE Foto: Joseph Krpelan; Martin Piskernig

Kunzinger e Sämann queriam usar sua nova maneira de estimar a curvatura para determinar se esses teoremas de singularidade ainda seriam válidos se eles não mais assumissem que o espaço-tempo é suave. As singularidades persistiriam mesmo em espaços mais rugosos e de aparência mais realista? É importante descobrir se a condição de suavidade pode ser dispensada, disse Sämann, porque isso aproximaria os teoremas da realidade física. Afinal, ele acrescentou, “acreditamos que a não suavidade é uma parte inescapável do mundo natural”.

Em 2019, juntamente com Stephanie Alexander da Universidade de Illinois (que faleceu em 2023) e Melanie Graf, agora na Universidade de Hamburgo, os matemáticos provaram um caso especial do teorema da singularidade de Hawking. Para modelos mais simples de espaço-tempo — que não eram suaves, mas tinham uma estrutura especial — eles mostraram que, se você traçasse os caminhos de partículas ou raios de luz para trás no tempo, esses caminhos teriam que ser finitos.

Em outras palavras, uma singularidade surgiria inevitavelmente em algum momento no passado.

“É uma prova de conceito que, com a nossa abordagem, podemos provar teoremas de singularidade que existiam em domínios mais restritos e suaves”, disse Sämann. O método de comparação de triângulos não era apenas para demonstração; poderia ajudar a revelar algo útil sobre o universo, sobre a presença de singularidades em vários tipos de espaço-tempo.

Mas a técnica só lhes dava estimativas da curvatura seccional. E a curvatura seccional fornece informações mais detalhadas sobre a curvatura do espaço-tempo do que os teoremas de Penrose e Hawking necessitavam. Baseando seu argumento na curvatura seccional, Kunzinger, Sämann e seus colegas provaram seu resultado sob um conjunto de condições mais limitado do que teriam preferido. Para provar novamente o teorema da singularidade em sua generalidade completa — como Hawking e Penrose fizeram — os matemáticos precisariam basear seus argumentos em informações menos detalhadas sobre a curvatura. Eles precisariam usar a curvatura de Ricci, não a curvatura seccional.

Para conseguir isso, eles precisavam de alguns novos jogadores para se juntar ao esforço.

Uma Noção Napoleônica

Em 2018, enquanto Kunzinger e Sämann desenvolviam suas técnicas para curvatura seccional, Robert McCann da Universidade de Toronto decidiu abordar o problema usando ferramentas de uma área totalmente diferente da matemática. Em particular, ele esperava utilizar um método chamado transporte ótimo.

A ideia remonta ao final do século XVIII, quando Napoleão encarregou o geômetra francês Gaspard Monge de transportar grandes quantidades de solo para construir fortificações. Monge usou suas habilidades matemáticas para descobrir a maneira mais econômica de dividir os materiais e enviá-los aos seus destinos.

No final do século XVIII, Gaspard Monge descobriu uma maneira eficiente de transportar solo para construir fortificações para o exército de Napoleão. Os matemáticos continuaram a desenvolver sua técnica de “transporte ótimo” para resolver outros problemas de otimização. Foto: Henri-Joseph Hesse via Wikimedia Commons

Mais de dois séculos depois, McCann encontrou uma maneira de usar a técnica de Monge para estimar a curvatura de Ricci. Enquanto a curvatura seccional indica precisamente como fatias bidimensionais de um espaço se curvam em diferentes direções, a curvatura de Ricci fornece uma noção mais média dessa curvatura. Ela mede essencialmente como o volume de um objeto mudará à medida que se move por regiões do espaço-tempo com curvatura variável. E o transporte ótimo, percebeu McCann, poderia fornecer informações sobre essas mudanças de volume.

Para entender como isso funciona, vamos considerar um exemplo mais simples. Digamos que você tenha uma pilha de areia no Polo Norte da Terra e queira transportá-la para o Polo Sul. Você pode usar técnicas de transporte otimizado para estudar como os grãos de areia se moverão entre os dois polos e como seu volume mudará ao longo do caminho. À medida que viajam pela superfície da Terra, seguindo os caminhos mais diretos possíveis em direção ao equador, eles se espalham, abrangendo um volume maior, antes de se contraírem novamente. A maneira como seu volume muda reflete a curvatura da Terra.

McCann usou a conexão entre transporte ótimo e curvatura para desenvolver um método para estimar a curvatura de Ricci do espaço-tempo sem cálculo. Mas a abordagem só funcionava quando o espaço-tempo era suave.

Então, alguns meses depois, dois matemáticos — Andrea Mondino da Universidade de Oxford e Stefan Suhr da Universidade Ruhr de Bochum, na Alemanha — descobriu como adaptar técnicas de transporte ideais (usando insights da pesquisa de Kunzinger e Sämann) para trabalhar em ambientes não suaves. Em 2020, Mondino e Fabio Cavalletti da Universidade de Milão mostrou que o teorema da singularidade de Hawking ainda se mantinha nesses cenários. De fato, eles conseguiram fazê-lo funcionar para modelos de espaço-tempo mais gerais do que Kunzinger e Sämann. E seu método para estimar a curvatura de Ricci permitiu-lhes provar o teorema sem fazer as mesmas suposições limitantes que Kunzinger e Sämann tiveram que fazer.

A prova não apenas demonstra o poder do método deles, mas também fornece uma base matemática ainda mais firme para a ideia de uma singularidade do Big Bang.

“Isso mostra que os teoremas da singularidade são ainda mais fundamentais” do que os matemáticos e os físicos jamais conseguiram mostrar, de acordo com Eric Ling, da Universidade de Copenhague, que não esteve envolvido na pesquisa. As singularidades de Hawking e Penrose não requerem um espaço-tempo suave. Mesmo em um ambiente mais irregular — com cantos, bordas ou outras características geométricas estranhas — elas inevitavelmente surgirão.

“Os principais resultados da relatividade geral na verdade se estendem a um cenário muito mais fraco, onde um espaço-tempo subjacente suave não é necessário”, disse Eric Woolgar, um matemático da Universidade de Alberta. “As ideias envolvidas são bastante notáveis.”

Um novo cálculo

As ideias continuam a surgir. No ano passado, McCann, Sämann e seis colegas começaram a desenvolver formas de estender técnicas do cálculo para configurações não suaves. “Ainda não podemos fazer cálculos completos”, disse Sämann, mas “isso deve expandir bastante a caixa de ferramentas”. Os matemáticos já estão usando essas técnicas para provar outros teoremas de singularidade(abre uma nova aba)e declarações relacionadas.

E no mês passado, Cavalletti e Mondino, juntamente com Davide Manini da Escola Internacional de Estudos Avançados da Itália, tornaram-se os primeiros matemáticos a provar novamente o teorema da singularidade de Penrose sobre buracos negros em espaços-tempos não suaves.

O apoio financeiro também chegou. No ano passado, Steinbauer, Kunzinger, Sämann e seus colegas receberam uma bolsa de 7 milhões de euros do Fundo Austríaco para a Ciência para continuar seu trabalho. Eles vêm recrutando mais pesquisadores para a equipe, que agora trabalha em vários projetos — todos voltados para o desenvolvimento de novas matemáticas para expandir o alcance da relatividade geral.

Steinbauer está entusiasmado com a possibilidade de que este programa possa um dia ajudar a estabelecer uma base matemática para uma teoria da gravidade quântica: uma maneira há muito buscada de unificar as leis da relatividade geral com as do mundo submicroscópico da física quântica. “Existem muitas abordagens para a gravidade quântica que preveem que, em um nível fundamental, o espaço-tempo é discreto”, disse ele. “Temos pontos isolados no espaço em vez de um contínuo espaço-tempo. E nossa estrutura ainda pode falar sobre curvatura nessas situações discretas.” E se pode falar sobre curvatura, então talvez possa falar sobre gravidade.

Sämann mal pode esperar para ver o que esse empreendimento coletivo vai revelar a seguir. “As pessoas ainda estão chegando”, disse ele. “Este projeto está apenas começando.”

História original republicada com permissão da Quanta Magazine, uma publicação editorialmente independente apoiada pela Simons Foundation. Leia o conteúdo original em A New Geometry for Einstein’s Theory of Relativity

Este conteúdo foi traduzido com o auxílio de ferramentas de Inteligência Artificial e revisado por nossa equipe editorial. Saiba mais em nossa Política de IA.